Логические символы
квантор всеобщности « означает “для любого” или “для всех” .
квантор сушествования $ означает “существует” или “найдется” .
Символ Ю означает ”следует”, “влечет” .
Символ ЬЮ означает “равносильно”, “эквивалентно”.
Множества
Множество — это совокупность объектов произвольной природы, называемых элементами этого множества.
Символ a О A означает, что элемент a принадлежит множеству A.
Символ a П A означает, что элемент a не принадлежит множеству A.
Пустое множество — это множество, не содержащее ни одного элемента. Оно обозначается символом Ø.
Символы A М B или B Й A означают включение множества A в множество B.
В этом случае множество A называется подмножеством множества B.
Множество натуральных чисел {1,2, … } обозначается символом N.
Множество рациональных чисел m/n :m О Z, n О N обозначается символом Q.
Множество действительных (вещественных) чисел (множество всех десятичных дробей) обозначается символом R.
Множество комплексных чисел { a + bi : a О R, b О R, i2 = − 1} обозначается символом C.
Все эти множества называются числовыми множествами.
Множество (a, b) = {x О R : a<x<b } называется интервалом.
Множество [a, b] = {x О R : a ≤ x ≤ b} называется отрезком.
Множество [a, b) = {x О R : a ≤ x<b} называется левым полуинтервалом.
Множество (a, bъ = {x О R : a<x ≤ b} называется правым полуинтервалом.
Все интервалы, полуинтервалы и отрезки называются промежутками. Они изображаются отрезками числовой оси, содержащими или не содержащими точки a и b или одну из них, а бесконечные интервалы и полуинтервалы (кроме интервала ( − ∞ , + ∞)) — лучами, содержащими или не содержащими точку a. Интервал ( − ∞ , + ∞) — это вся числовая ось.
Любой интервал (a,b), содержащий точку c (c О (a,b)), называется окрестностью точки c и обозначать символом O(c).
Если из множества O( c) удалить точку c, то получится множество, называемое проколотой окрестностью точки с. Оно обозначается символом O(x0).
Интервал (с − δ, с + δ) называется δ–окрестностью точки с. Эта окрестность обозначается символом OOδ(с).
Если из множества O − δ(c) удалить точку c, то получится множество, называемое проколотой δ–окрестностью точки с. Это множество обозначается символом OOδ(с).
Функции
Функцией, заданной на множестве D со значениями из множества E, называется отображение множества D на множество E, т.е. правило, по которому каждому элементу x О D ставится в соответствие некоторый элемент y О E. Такая функция (отображение) обозначается следующим образом:
| y = f(x), x О X или f: D М X → E М Y. |
Множество D называется областью определения функции, а множество E — областью ее значений.
Функция f(x) называется взаимно однозначной на множестве X, если для любых х1, х2 О X f(х1) = f(х2) Ю х1 = х2.
Если функция u(x) отображает множество D в множество E1, а функция f(u) отображает множество E1 в множество E2, то функция y = f(u(x)) называется сложной функцией, а также композицией функций (отображений) u и f. Она обозначаеися символом f°u. Поэтому f°u(x) = f(u(x)).
Функция f называется обратной для (к) функции u на множестве D, если «x О D f(u(x)) = x.
Если E М R, то y = f(x) называется вещественнозначной (вещественной) функцией.
Если D М R, то y = f(x) называется функцией одной (вешественной) переменной.
Вещественная функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если сушествуеет число M>0, такое что для любого x О X справедливо неравенство |f(x)| < M.
Функция f(x) называется возрастающей на интервале (a, b), если для любых x1, x2 О(a, b)
| x1 < x2 Ю f(x1) ≤ f(x2). |
Функция f(x) называется убывающей на интервале (a, b), если для любых x1, x2 О (a, b)
| х1 < x2 Ю f(x1) ≥ f(x2). |
Если выполняются строгие неравенства, то функция f(x) называется строго возрастающей или строго убывающей.
Убывающие и возрастающие функции называются монотонными.
Основными элементарными функциями называются функции
| xα, ax, l og ax, sin x, cos x, tg x, ctg x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x |
Элементарными функциями называют функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции образования сложной функции.
Последовательностью {xn} элементов некоторого множества X называется отображение множества натуральных чисел N в это множество X. В частности, последовательностью действительных чисел (числовой последовательностью) является отображение N → R, т.е. занумерованное множество действительных чисел. Таким образом, последовательность можно трактовать как функцию натурального аргумента: xn = f(n).
Последовательность действительных чисел {xn} называется возрастающей (убывающей), если для всех n
| xn ≤ xn + 1 (xn ≥ xn + 1), |
Если выполняются строгие неравенства, то последовательность {xn} называется строго возрастающей (строго убывающей).
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.
Последовательность {xn} называется ограниченной, если $ M > 0: « n |xn| ≤ M.
Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если $ M: « n xn ≤ M.
Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если $ M: « n xn ≥ M.
