Производная функции одной переменной

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, (включая саму эту точку).

Если существует предел отношения приращения функции Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) к вызвавшему его приращению аргумента Δx, когда Δx → 0, то этот предел называется производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом f ‘(x0), т.е.

 

f ‘(x0) = lim Δx → 0 Δy Δx   = lim Δx → 0 f(x0 + Δx) − f(x0) Δx .

 

Наряду с обозначением производной f ‘(x) функции y = f(x) в произвольной точке х используют и другие обозначения :

 

y ‘(x),     y ‘x,       dy dx  ,     df(x) dx .

 

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица производных элементарных функций

( xα ) ‘ = α xα − 1
(ax ) ‘ = ax lna	(logax) ‘ =  1 x lna
(ex ) ‘ = ex	(lnx)’ = 1 x
(sinx)’ = cosx	(arcsin x)’ = 1 √ 1 − x2
(cosx)’ = − sinx	(arccos x) ‘ = −   1 √ 1 − x2
(tg x)’ =  1 cos2x	(arctg x)’ =  1 1 + x2
(ctg x)’ = −   1 sin2x	(arcctg x)’ = −   1 1 + x2
(sh x)’ = ch x	(Arsh x)’ = 1 √ x2 + 1
(ch x)’ = sh x	(Arch x) ‘ =   1 √ x2 − 1
(th x)’ =  1 ch2x	(Arth x)’ =  1 1 − x2
(cth x)’ = −   1 sh2x	(Arcth x)’ =   1 1 − x2

Доказательства формул приведены в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 92–94 и 105.

Дифференцирование суммы, произведения и частного двух функций

Теорема 1. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют производные в точке х0. Тогда в этой точке имеют производные их сумма, произведение и, при дополнительном условии v(x0) ≠ 0, их частное, причем:

 

(u ± v) ‘ = u ‘ ± v ‘ ,     (u · v) ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ ,     u v ‘   =   u ‘ · v − u · v ‘ v2  .

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 90.

Замечания.

1. Из превила дифференцирования произведения с учетом того, что производная постоянной функции равна нулю получаем:

    

   (C · v) ‘ = C · v ‘ ;

    

2. Используя это свойство и правило дифференцирования суммы, получаем

    

   ( C1 · u1 + C2 · u2 + … + Cn · un ) ‘   =   C1 · u1 ‘ + C2 · u2 ‘ + … + Cn · un ‘ ,

    

   где C1, C2, … , Cn — некоторые числа.

Иными словами, дифференцирование — это линейный оператор.

Теорема 2. Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 88.

Геометрический смысл производной

Теорема 3. Непрерывная функция y = f(x) имеет в точке x0 конечную производную f ‘(x0) тогда и только тогда, когда ее график в точке (x0, f(x0) имеет касательную с угловым коэффициентом

 

tg α = f ‘(x0)     ( − π/2 < α < π/2).

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 85.

Таким образом значение производной f ‘(x0) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке M0(x0, f(x0)) (рис. 1).

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0, f(x0)) получается как уравнение прямой, проходящей через точку (x0, f(x0)), с угловым коэффициентом k = f ‘(x0) и имеет вид

 

y − f(x0) = f ‘(x0) (x − x0).

 

Уравнение нормали к графику функции y = f(x) в точке (x0, f(x0)) имеет вид

 

y − f(x0) = −   1 f ‘(x0)   (x − x0).

 

Если f ‘(x0) = 0, то уравнение нормали x = x0.

Замечание. Если в точке x0 производная f ‘(x0) = ± ∞, то в точке M0(x0, f(x0)) существует вертикальная касательная и ее уравнение имеет вид x = x0 (рис. 2). Уравнение соответствующей нормали y = f(x0).

Механический смысл производной

Если S = S(t) — длина пути, проходимого материальной точкой за время t, отсчитываемое от некоторого начального момента времени, ΔS = S(t + Δt) − S(t), то отношение  

ΔS

Δt

  определяет среднюю скорость движения точки за время Δt (рис. 3).

 

Предел отношения  

ΔS

Δt

  при Δt → 0 называется мгновенной скоростью движения материальной точки в момент времени t:

 

V(t)  = lim Δt → 0 ΔS Δt ,

 

т.е. скорость V(t) есть производная пути S(t) по времени t:

 

V(t) = S ‘(t).

 

Односторонние производные

Пусть функция f(x) определена в левой полуокрестности точки x0, т.е. в полуинтервале (x1, x0].

Если существует предел отношения  

Δf

Δx

  при   Δx → 0 − 0, то этот предел называется левой производной функции f(х) в точке х0 и обозначается символом f ‘л(x0) :

 

f ‘л(x0) = lim Δx → 0 − 0 f(x0 + Δx) − f(x0) Δx .

 

Пусть функция f(x) определена в правой полуокрестности точки x0, т.е. в полуинтервале [x0, x1).

Если существует предел отношения  

Δf

Δx

  при   Δx → 0 + 0, то этот предел называется правой производной функции f(х) в точке х0 и обозначается символом f ‘п(x0) :

 

f ‘п(x0) = lim Δx → 0 + 0 f(x0 + Δx) − f(x0) Δx .

 

Замечание. Для того чтобы существовала производная функции f(x) в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы существовали левая и правая производные функции f(x) в этой точке и они были бы равны.