Пример 1. Найдем производную функции
| y = e − x . |
Решение.
Функция y = e − x имеет вид
| y(x) = f(u(x)), |
где f(u) =eu и u(x) = − x.
Используя формулу для производной сложной функции, получаем
| y‘ = (eu )’ · ( − x)’ = eu · ( − 1) = − e − x . |
Пример 2. Найдем производную функции
y = √
. |
Решение.
Функция y = √
| 1 + x2 |
имеет вид
| y(x) = f(u(x)), |
где f(u) = √
| u |
и u(x) = 1 + x2 .
Используя формулу для производной сложной функции, получаем
y ‘ = (√
)’ · (1 + x2 )’ =
· 2x =
. |
Пример 3. Найдем производную функции
| y = xex · x9 . |
Решение.
1. Для нахождения производной используем логарифмическое дифференцирование. Логарифм данной функции имеет вид
| ln y = ln(xex · x9 ) = ex · ln x + 9 ln x . |
2. Продифференцировав обе части этого равенства, получаем
= ex · ln x + ex ·
+
. |
Поэтому
y‘ = y ·
. |
3. Подставляя в последнее равенство выражение для y, получаем
y‘ = xex · x9 ·
. |
Пример 4. Используя теорему о производной обратной функции, найдем производную функции
y = arcsin x ( − 1 < x < 1; −
< y<
). |
Решение.
Функция y = arcsin x является обратной по отношению к функции x = sin y. Функция x =sin y в интервале ( − π/2, π/2 ) непрерывна, строго возрастает и имеет производную x‘ = cos y > 0 .
Следовательно, по теореме о производной обратной функции
(arcsin x) ‘ =
=
=
=
. |
Пример 5. Используя теорему о производной обратной функции, найдем производную функции
y = arctg x ( − ∞ < x < + ∞ ; −
< y <
). |
Решение.
Функция y = arctg x является обратной по отношению к функции x = tg y. Функция x =tg y в интервале ( − π/2, π/2 ) непрерывна, строго возрастает и имеет производную x ‘ = 1/cos2 x > 0.
Следовательно, по теореме о производной обратной функции
(arctg x) ‘ =
=
=
=
. |
