Теорема 1 (о производной сложной функции). Если функция u(x) дифференцируема в точке x0, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u0 = u(x0), тогда сложная функция
F(x) = f(u(x)) дифференцируема в точке x0, причем
| F ‘(x0) = f ‘(u0) · u ‘(x0). |
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 101.
В условиях теоремы 1 справедлива формула для дифференциала сложной функции
| d F(x0) = f ‘(u0) · u ‘(x0) dx. | (1) |
Инвариантность формы первого дифференциала
Поскольку u ‘(x0) dx = du, то формулу (1) можно представить в виде
| d f(u) = f ‘(u0) du. |
Последняя формула показывает, что дифференциал функции выражается формулой одного и того же вида (одной и той же формы), как в случае функции независимой переменной, так и в случае функции от функции. Это свойство дифференциала называют инвариантностью формы.
Логарифмическое дифференцирование
Пусть надо найти производную функции вида
| y = u1(x)v1(x) · … · un(x)vn(x) · w1(x) · … · wm(x), | (2) |
где все функции в правой части дифференцируемы в некоторой точке x. Для этого удобно предварительно прологарифмировать равенство (2) и воспользоваться свойствами логарифмов.
План решения.
1. Логарифм данной функции имеет вид
| ln y = v1(x) · ln u1(x) + … + vn(x) · ln un(x) + ln w1(x) + … + ln wm(x). |
2. Продифференцируем обе части этого равенства. Используя теорему о производной сложной функции и правила дифференцирования суммы и произведения, получаем
=
+ … +
+
+ … +
. |
Поэтому
y ‘ = y ·
. |
3. Подставляя в последнее равенство выражение для y, получаем ответ.
Теорема 2 (о производной обратной функции). Пусть функция y = f(x) взаимно однозначна в интервале (a, b), содержащем точку x0. Пусть в точке x0 она имеет конечную и отличную от нуля производную f ‘(x0). Тогда обратная функция x = g(y) также имеет производную в соответствующей точке y0 = f(x0), причем
g ‘(y0) =
. |
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 104.
