Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Теорема 1. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x)

непрерывна на отрезке [a, b];
дифференцируема в интервале (a, b);
на концах отрезка [a, b] принимает равные значения.

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что f‘(c) = 0.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 118.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Из теоремы Ролля следует, что существует точка с О (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна оси ОX (рис. 1).

Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)

непрерывна на отрезке [a, b];
дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что

f(b) − f(a) = f ‘(c) · (b − a) .

(1)

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Представим формулу (1) в виде

f(b) − f(a)

b − a

= f ‘(c) .

(2)

Число

f(b) − f(a)

b − a

есть угловой коэффициент прямой, проходящей через концы графика функции y = f(x) — точки (a, f(a) ) и (b, f(b) ), а f ‘(c) — угловой коэффициент касательной к этому графику в точке
(c, f(c) ). Из формулы (2) следует, что существует точка с О (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней) (рис. 2).

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)

непрерывны на отрезке [a, b];
дифференцируемы в интервале (a, b);
«x О (a, b) g‘(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что

f(b) − f(a)

g(b) − g(a)

f ‘(c)

g ‘(c)

(3)

Формула (3) называется формулой Коши.