Правило Лопиталя

По правилу Лопиталя вычисление предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций сводится к вычислению предела отношения их производных.

Правило Лопиталя для отношения бесконечно малых функций

Теорема 1. Если

1. функции f(x) и g(x) определены и имеют производные f ‘(x) и g ‘(x) ≠ 0 в некоторой окрестности точки a, кроме быть может самой точки a;

2. lim

   x → a

   f(x) =

   lim

   x → a

   g(x) = 0;

3. существует (конечный или бесконечный)
   

   lim

   x → a

   f ‘(x)

   g ‘(x)

   .

Тогда существует (конечный или бесконечный)

lim

x → a

f(x)

g(x)

,  причем

 

lim x → a f(x) g(x)   =   lim x → a f ‘(x) g ‘(x) .

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 123.

Замечание. Если

 

lim x → a f(x) ≠ 0     и     lim x → a g(x) ≠ 0 ,

 

то применение правила Лопиталя приведет к ошибочному результату.

Теорема 2. Если

1. функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в интервале (b, + ∞), причем g‘(x) ≠ 0 при всех x О (b, + ∞);

2. lim

   x → + ∞

   f(x) =

   lim

   x → + ∞

   g(x) = 0;

3. существует (конечный или бесконечный)
   

   lim

   x → + ∞

   f‘(x)

   g‘(x)

   .

    

Тогда существует (конечный или бесконечный)

lim

x → + ∞

f(x)

g(x)

, причем

 

lim x → + ∞ f(x) g(x)   =   lim x → + ∞ f‘(x) g‘(x) .

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 126.

Аналогично формулируется и доказывается правило Лопиталя при x → − ∞.

Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших функций

Теорема 3. Если

1. функции f(x) и g(x) определены и имеют производные f ‘(x) и g ‘(x) ≠ 0 в некоторой окрестности точки a, кроме быть может самой точки a;

2. lim

   x → a

   f(x) =

   lim

   x → a

   g(x) = ∞;

3. существует (конечный или бесконечный)
   

   lim

   x → a

   f‘(x)

   g‘(x)

   .

Тогда существует

lim

x → a

f(x)

g(x)

, причем

 

lim x → a f(x) g(x) = lim x → a f‘(x) g‘(x) .

 

Замечание. Следующие пределы вычисляются сведением их к пределам отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций и поименением правила Лопиталя:

 

1.

lim

x → a

f(x) · g(x) ,  если  

lim

x → a

f(x) = 0   и  

lim

x → a

g(x) = ∞ .

 

2.

lim

x → a

[ f(x) − g(x) ] ,   если  

lim

x → a

f(x) = ∞   и  

lim

x → a

g(x) = ∞ ;

 

3.

lim

x → a

[f(x)]g(x) , если выполняется любое из трех условий:

 

        а)

lim

x → a

f(x) = 0   и

lim

x → a

g(x) = 0;

 

        б)

lim

x → a

f(x) = 1   и

lim

x → a

g(x) = ∞;

 

        в)

lim

x → a

f(x) = ∞   и

lim

x → a

g(x) = 0.