Вычисление пределов
При вычислении пределов вида
, |
где
| lim |
| x → x0 |
f(x) = 0 и
| lim |
| x → x0 |
g(x) = 0, рекомендуется разложить по формуле Тейлора (если это возможно) функции f(x) и g(x) в окрестности точки х0. При этом в многочлене Тейлора ограничиваемся лишь первыми отличными от нуля членами:
| f(x) = a · (x − x0)m + o((x − x0)m ) (a ≠ 0) , g(x) = b · (x − x0)k + o((x − x0)l ) (b ≠ 0) . |
Тогда
=
=
= |
=
|
При вычислении предела отношения двух бесконечно больших функций сначала преобразуют выражение под знаком предела, чтобы получить отношение бесконечно малых функций, а затем разлагают эти функции по формуле Тейлора. Аналогично применяют формулу Тейлора при вычислении пределов других видов.
Приближенные вычисления значений функций
Пусть требуется вычислить значение функции f(x) в некоторой точке a, причем существует такая точка x0, в которой значения функции и ее производных известны или легко вычисляются. Если функция f(x) в некоторой окрестности точки x0, включающей точку a, имеет непрерывные производные до (n + 1)–го порядка включительно, то по формуле Тейлора
f(a) = f(x0) +
(a − x0) +
(a − x0)2 + … +
(a − x0)n + Rn + 1(a) . |
Если в этой формуле можно пренебречь остаточным членом Rn + 1(a) , то получится формула для приближенного вычисления значения функции f(x) в заданной точке a:
f(a) ≈ f(x0) +
(a − x0) +
(a − x0)2 + … +
(a − x0)n . |
(1) |
Абсолютная погрешность этой формулы равна модулю остаточного члена, т.е |Rn + 1(a) | .
По формуле Лагранжа
|Rn + 1(a) | =
|a − x0|n , |
(2) |
где ξ — некоторая точка, лежащая между x0 и a. Конкретное значение ξ обычно трудно определить. Поэтому стараются найти такое число M, что | f(n + 1) (ξ) | ≤ M при любом допустимом значении ξ . Тогда, учитывая (2), можно утверждать, что абсолютная погрешность формулы (1) не превосходит
|a − x0|n , |
Наример, если f(x) = cos x или f(x) = sin x, то | f(n + 1) (ξ) | есть | cos ξ | или | sin ξ |. Поэтому M = 1
