Предварительные сведения

Гиперболические функции

гиперболический синус

 

sh x =   ex − e − x 2  ;

 

гиперболический косинус

 

ch x =   ex + e − x 2  ;

 

гиперболический тангенс

 

th x =   sh x ch x   =   ex − e − x ex + e − x  ;

 

гиперболический котангенс

 

cth x =   ch x sh x   =   ex + e − x ex − e − x  .

 

Функции sh x, th x, ch x определены для всех значений х. Функция cth x определена при всех х ≠ 0.

Гиперболические функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Свойства гиперболических функций

 

ch2 x − sh2 x = 1

 

sh(x + y) = sh x · ch y + ch x · sh y

 

ch(x + y) = ch x · ch y + sh x · sh y

 

Касательная и нормаль к кривой

Пусть задана непрерывная кривая. Выберем на ней точки M0 и M. Проведем через точки M0 и M прямую M0M. Эта прямая называется секущей (рис.1).

При перемещении точки M вдоль кривой положение секущей будет изменяться.

Пусть при стремлении точки M к фиксированной точке M0 секущая M0M стремится к одному и тому же предельному положению независимо от способа стремления M к M0.

Прямая, являющаяся предельным положением секущей M0M, называется касательной к кривой в точке M0.

Прямая, перпендикулярная касательной к кривой в точке M0, называется нормалью к этой кривой в точке M0.

Метод математической индукции

Чтобы доказать, что некоторое утверждение справедливо для любого натурального n, достаточно доказать, что

1. оно справедливо при n = 1;
2. если утверждение справедливо для некоторого n = k>1, то оно справедливо и для n = k + 1.