Книги

Пусть функция u = f(x1, x2,  … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2,  … , an) . Пусть δxku = f(a1,  … , ak + Δxk,  … , an) − f(a1, a2,  … , an) — частное приращение функции u в точке a , соответствующее приращению Δxk аргумента xk . Определение 1. Если существует предел lim Δxk → …

Функция называется рациональной, если ее можно представить в виде отношения двух многочленов. Например, если R(x) — рациональная функция одной переменной x, то R(x)   =   am xm + am − 1 xm − 1 + … + a1 x + a0 bn xn + bn − 1 xn − 1 + … + b1 …

По одному из общих методов интегрирования искомый неопределенный интеграл необходимо выразить через известные неопределенные интегралы, собранные в таблицы и поэтому называемые табличными. В прстейших приемах интегрирования искомый интеграл выражается через табличные с помощью тождественных преобразований подынтегрального выражения и с использованием свойств неопределенных интегралов. В других приемах применяется также подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям …

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1, x2,  … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2,  … , an) О Rn (включая саму точку a). Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если lim x → a f(x) = f(a). Обозначим приращения аргументов символами Δx1 = x1 − a1, …

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b. Замечание. …

Всегда ли совместна однородная система линейных уравнений и сколько решений она может иметь? Что такое базис пространства решений однородной системы линейных уравнений и как его найти? Что такое фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений? Какова структура общего решения однородной системы линейных уравнений?  

Пример 1. Покажем, что точка M(1, 2, 10) принадлежит плоскости x − y + 1 = 0 . Решение. Подставляем координаты точки x = 1 , y = 2 и z = 10 в уравнение плоскости x − y + 1 = 0 . Получаем 1 − 2 + 1 = 0 Ю 0 ≡ …

Пример 1. Вычислим предел   lim x → 0 x − ln(1 + x) x2   .   Решение. 1. Выражение под знаком предела является отношением двух дифференцируемых функций, бесконечно малых при x → 0, так как   lim x → 0 [ x − ln(1 + x) ] = 0,     и   …

Вы на примерах познакомитесь с понятиями частных производных, полного дифференциала, градиента, производной по направлению и научитесь их вычислять. Вы также научитесь дифференцировать сложные функции нескольких переменных и функции, заданные неявно. Эти умения Вы сможете применить для нахождения касательной плоскости и нормали к поверхности и точек экстремума функции 2-х переменных. Модуль STEM Plus пакета AcademiaXXI поможет …

Дайте определение предела функции в точке. Некая компьютерная программа демонстрирует понятие предела функции в точке с помощью рисунков типа рис. 1. Какие данные должен вводить пользователь? Каким образом в зависимости от этих данных должен изменяться рисунок?   Докажите, что если lim x → a f(x) = A, то для любой последовательности {xn}, стремящейся в области …