Книги

Сформулируйте определение бесконечно малой функции. Что можно сказать о произведении бесконечно малой функции на ограниченную? В каком виде представима функция, имеющая предел? Как связаны между собой бесконечно малые и бесконечно большие функции? Как можно сравнить бесконечно малые функции? Какие бесконечно малые функции называются эквивалентными? Как используются эквивалентные бесконечно малые функции при вычислении пределов?  

1. Площадь криволинейной трапеции. Пусть функция  f(x)  непрерывна на отрезке  [a, b ]  и неотрицательна, т.е.  f(x) ≥ 0  при всех  x О   [ a, b]. Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции  y = f(x )  и прямыми  x = a,  x = b,  y = 0  (рис. 1). Такую фигуру называют криволинейной трапецией. Наша задача …

Примеры Пример 1. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, 2, −3) перпендикулярно прямой 2x − y + z + 1 = 0 x + 3y − z − 2 = 0 Решение. Так как искомая плоскость перпендикулярна данной прямой, то ее нормальный вектор → n коллинеарен направляющему вектору прямой → a и, следовательно, мы …

I. Линейность определенного интеграла Если функции f( x) и g (x) интегрируемы на отрезке [a, b], то при любых числах α, β О R  функция α · f(x) + β · g(x ) также интегрируема на [a, b]  и справедливо равенство   b ∫ a α · f(x) + β · g(x)   dx  = α ·   …

Пусть надо вычислить интеграл вида ∫  U(x) · v(x) dx , где   v(x)  имеет очевидную первообразную   V(x). Тогда ∫  U(x) · v(x) dx   =   ∫  U(x) · V‘(x) dx   =   ∫  U(x)  dV(x) . Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала, поскольку функция v(x) исчезает в интегрируемом выражении и появляется под …

Пример 1. Функция одной переменной y = f(x) — отображение R1 → R1 . Пример 2. Функция трех переменных (скалярное поле) u = f(x, y, z) — отображение R3 → R1 (например, поле температур). Пример 3. Векторное поле — отображение R3 → R3 (например, электрическое или магнитное поля). Пример 4. Векторная функция скалярного аргумента — …

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятиями функции нескольких переменных, ее области определения, предела и непрерывности, а также с понятием и различными примерами скалярных полей; научитесь их геометрически интерпретировать с помощью линий и поверхностей уровня. При нахождении областей определения функций модуль STEM Plus пакета AcademiaXXI поможет решить неравенства, а для геометрической интерпретации скалярных полей …

Вы научитесь исследовать поведение функции: находить ее область определения, асимптоты, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости вверх и вниз и точки перегиба, а также воплощать полученные результаты в виде эскиза графика и затем сделать окончательный чертеж с помощью графопостроителя. Кроме того, Вы научитесь находить наименьшие и наибольшие значения функции, непрерывной на отрезке, и …

Вычисление пределов При вычислении пределов вида   lim x → x0 f(x) g(x) ,   где lim x → x0 f(x) = 0  и lim x → x0 g(x) = 0, рекомендуется разложить по формуле Тейлора (если это возможно) функции f(x) и g(x) в окрестности точки х0. При этом в многочлене Тейлора ограничиваемся лишь первыми …

1. Интегрирование дробно–линейных иррациональностей R x, p√ ax + b cx + d ,  q√ ax + b cx + d ,  … (1) где R — рациональная функция и p , q,  … — натуральные числа. При вычислении интегралов от функций вида (1) с помощью подстановки x   =   tnd − b a …