Книги

Пример 1. Найдем матрицу квадратичной формы F = 2 x12 − 4 x1 x2 + x22 + 2 x1 x3 − x32. Решение. 1. Запишем квадратичную форму F в виде: F = 2 x12 − 2 x1 x2 − 2 x2 x1 + x22 + x1 x3 + x3 x1 − x32. 2. Матрица этой квадратичной формы есть A = 2 −2 1 −2 1 0 1 …

По правилу Лопиталя вычисление предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций сводится к вычислению предела отношения их производных. Правило Лопиталя для отношения бесконечно малых функций Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) определены и имеют производные f ‘(x) и g ‘(x) ≠ 0 в некоторой окрестности точки a, кроме быть может самой точки …

Производные и дифференциалы высших порядков Пусть задана функция f(x) на интервале (a, b) и пусть она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Следовательно, у нее в каждой точке x О (a, b) существует производная f‘(x). Она, в свою очередь, является функцией от x. Если функция f‘(x) дифференцируема в точке x0 О (a, b) , то …

Гиперболические функции гиперболический синус   sh x =   ex − e − x 2  ;   гиперболический косинус   ch x =   ex + e − x 2  ;   гиперболический тангенс   th x =   sh x ch x   =   ex − e − x ex + e − …

Пусть функция u = f(x1, x2,  … , xn) (1) определена в некоторой области D М Rn и ее аргументы не являются независимыми переменными, а связаны k   (k<n) соотношениями: Fi(x1, x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k). (2) Условия (2) называются уравнениями связи. Пусть координаты точки M0(x10, … ,xn0) О D удовлетворяют уравнениям связи (2). …

Определение дифференцируемой функции одной переменной Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке а, если ее приращение Δy = f(a+Δx) − f(a) можно представить в виде Δy = A· Δx + o(Δx) , где A не зависит от Δx и o(Δx) — бесконечно малая более высокого порядка, чем Δx. Определение производной функции одной переменной Производной …

Пример 1.  Исследуем на экстремум функцию z = y3 + 2×2 − 12xy + 4x − 12y + 2. Решение. 1. Находим частные производные данной функции. Получаем z‘x = 4x − 12y + 4,             z‘y = 3y2 − 12x − 12. 2. Для отыскания координат стационарных точек получаем систему …

Пример 1. Исходя из определения, найдем производную функции   y = xα ,  x ≠ 0,  α О R.   Решение. 1.По определению   f‘(x) = lim Δx → 0   (x + Δx)α − xα Δx  .   2. Преобразуем выражение под знаком предела   lim Δx → 0 (x + Δx)α − xα Δx   …

Векторы, лежащие на праллельных или совпадающих прямых, называются коллинеарными. Векторы x и y коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число λ , что x = λy или y = λx . Условие нетривиальной совместности однородной системы уравнений. Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы …

Правила дифференцирования Если u(x) и v(x) — дифференцируемые функции и C — постоянная функция, то C ‘ = 0 (u + v)’ = u‘ + v‘ (Cu)’ = Cu‘ (uv)’ = u‘v + uv‘ u v ‘ =   u‘v − uv‘ v2         (v ≠ 0). Производная сложной функции Если функция …