AcademiaXXI

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b. Замечание. …

Всегда ли совместна однородная система линейных уравнений и сколько решений она может иметь? Что такое базис пространства решений однородной системы линейных уравнений и как его найти? Что такое фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений? Какова структура общего решения однородной системы линейных уравнений?  

Пример 1. Покажем, что точка M(1, 2, 10) принадлежит плоскости x − y + 1 = 0 . Решение. Подставляем координаты точки x = 1 , y = 2 и z = 10 в уравнение плоскости x − y + 1 = 0 . Получаем 1 − 2 + 1 = 0 Ю 0 ≡ …

Пример 1. Вычислим предел   lim x → 0 x − ln(1 + x) x2   .   Решение. 1. Выражение под знаком предела является отношением двух дифференцируемых функций, бесконечно малых при x → 0, так как   lim x → 0 [ x − ln(1 + x) ] = 0,     и   …

Вы на примерах познакомитесь с понятиями частных производных, полного дифференциала, градиента, производной по направлению и научитесь их вычислять. Вы также научитесь дифференцировать сложные функции нескольких переменных и функции, заданные неявно. Эти умения Вы сможете применить для нахождения касательной плоскости и нормали к поверхности и точек экстремума функции 2-х переменных. Модуль STEM Plus пакета AcademiaXXI поможет …

Дайте определение предела функции в точке. Некая компьютерная программа демонстрирует понятие предела функции в точке с помощью рисунков типа рис. 1. Какие данные должен вводить пользователь? Каким образом в зависимости от этих данных должен изменяться рисунок?   Докажите, что если lim x → a f(x) = A, то для любой последовательности {xn}, стремящейся в области …

Сформулируйте определение бесконечно малой функции. Что можно сказать о произведении бесконечно малой функции на ограниченную? В каком виде представима функция, имеющая предел? Как связаны между собой бесконечно малые и бесконечно большие функции? Как можно сравнить бесконечно малые функции? Какие бесконечно малые функции называются эквивалентными? Как используются эквивалентные бесконечно малые функции при вычислении пределов?  

1. Площадь криволинейной трапеции. Пусть функция  f(x)  непрерывна на отрезке  [a, b ]  и неотрицательна, т.е.  f(x) ≥ 0  при всех  x О   [ a, b]. Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции  y = f(x )  и прямыми  x = a,  x = b,  y = 0  (рис. 1). Такую фигуру называют криволинейной трапецией. Наша задача …