AcademiaXXI

Пример 1. Докажем, что множество X многочленов Pn(t) степени, меньшей или равной n , определенных на отрезке [a, b] , является линейным подпространством пространства непрерывных функций C[a, b] . Решение. Так как сумма многочленов степени, меньшей или равной n , определенных на отрезке [a, b] , и произведение многочлена Pn(t) и любого числа α принадлежат …

Пример 1. Выясним, какую линию на плоскости описывает уравнение x = −4y2 + 8y − 1 . Решение. Выделяя полный квадрат, получаем x = −4(y − 1)2 + 3 . После преобразований имеем (y − 1)2 = − 1 4  (x − 3) . Это уравнение описывает параболу с вершиной в точке O‘(3, 1) , параметром p = …

Пример 1.  Найдем стационарные точки функции z = y3 + 2×2 − 12xy + 4x − 12y + 2. Решение. 1. Найдем частные производные данной функции. Получаем: z‘x = 4x − 12y + 4,                z‘y = 3y2 − 12x − 12. 2. Для отыскания координат стационарных точек получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: 4x …

Экстремумы функций одной переменной Определение. Точка х0 называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x) , если существует такая окрестность Oδ(x0)  точки   х0 , что для всех   x О Oδ(x0)   f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) . Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума. Значения функции в этих точках называются …

Скалярным произведением векторов → a и → b называется число, обозначаемое ( → a , → b ) и равное произведению их модулей и косинуса угла j  между ними, т.е. ( → a , → b ) = | → a | · | → b | · cosj, Свойства скалярного произведения векторов Для любых …

Пример 1. Найдем интеграл ∫ sin x 2 + sin x  dx. Решение. 1. Требуется найти интеграл от функции f(x) = R(sin x) , где R(u) = u/(2 + u) — рациональная функция. Воспользуемся универсальной подстановкой x = 2arctg t,     t = tg  x 2 ,    x  О  ( − π, π)  t  О  ( − …