AcademiaXXI

Пример 1. Найдем интеграл ∫ sin x 2 + sin x  dx. Решение. 1. Требуется найти интеграл от функции f(x) = R(sin x) , где R(u) = u/(2 + u) — рациональная функция. Воспользуемся универсальной подстановкой x = 2arctg t,     t = tg  x 2 ,    x  О  ( − π, π)  t  О  ( − …

Пример 1. Определим, какая поверхность является графиком функции z = x2 − y2 , и изобразим ее на чертеже. Решение. Уравнение z = x2 − y2 является каноническим уравнением гиперболического параболоида. Следовательно, график функции 2–х переменных z = x2 − y2 — гиперболический параболоид, или седло (рис. 1). Пример 2. Найдем линии уровня C = …

Поставим следующую задачу: Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку M(x0, y0, z0) параллельно данному вектору → a = {l, m, n} ≠ → 0 (вектор → a называется направляющим вектором прямой). Решение. Пусть N(x, y, z) — произвольная точка пространства. Построим вектор MN = {x − x0,  y − y0,  z − z0} (рис.1). …

Пример 1. Найдем матрицу квадратичной формы F = 2 x12 − 4 x1 x2 + x22 + 2 x1 x3 − x32. Решение. 1. Запишем квадратичную форму F в виде: F = 2 x12 − 2 x1 x2 − 2 x2 x1 + x22 + x1 x3 + x3 x1 − x32. 2. Матрица этой квадратичной формы есть A = 2 −2 1 −2 1 0 1 …

По правилу Лопиталя вычисление предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций сводится к вычислению предела отношения их производных. Правило Лопиталя для отношения бесконечно малых функций Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) определены и имеют производные f ‘(x) и g ‘(x) ≠ 0 в некоторой окрестности точки a, кроме быть может самой точки …

Производные и дифференциалы высших порядков Пусть задана функция f(x) на интервале (a, b) и пусть она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Следовательно, у нее в каждой точке x О (a, b) существует производная f‘(x). Она, в свою очередь, является функцией от x. Если функция f‘(x) дифференцируема в точке x0 О (a, b) , то …