Книги

Говорят, что в линейном пространстве X определена операция скалярного умножения векторов, если любой упорядоченной паре векторов x, y О X ставится в соответствие действительное число, называемое их скалярным произведением и обозначаемое символом (x,y) . Причем « x, y, z О X и «α О R выполняются следующие аксиомы: (y, x) = (x, y) ; (x + y, z) = (x, z) + (y, z) …

ОГЛАВЛЕНИЕ УКАЗАТЕЛЬ ТЕМА ТЕОРИЯ ПРИМЕРЫ ВОПРОСЫ ЗАДАЧИ ЗАМЕТКИ

Базис e1, e2,  … , en в n –мерном евклидовом пространстве En называется ортогональным, если (ei, ej) = 0    «i ≠ j , т.е. все векторы попарно ортогональны. Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным. Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство (метод ортогонализации Грама–Шмидта). Пусть f1, f2,  … , fn — произвольный базис в En . …

ОГЛАВЛЕНИЕ УКАЗАТЕЛЬ ТЕМА ТЕОРИЯ ПРИМЕРЫ ВОПРОСЫ ЗАДАЧИ ЗАМЕТКИ

Пусть e1, e2,  … , en — ортогональный базис в n –мерном евклидовом пространстве En и x — произвольный вектор в En . Тогда x = α1 e1 + α2 e2 + … + αn en, где α1, α2,  … , αn — координаты вектора x в базисе e1, e2,  … , en . Умножив это равенство скалярно на ei ( i = 1,2, …

ОГЛАВЛЕНИЕ УКАЗАТЕЛЬ ТЕМА ТЕОРИЯ ПРИМЕРЫ ВОПРОСЫ ЗАДАЧИ ЗАМЕТКИ

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятиями собственного значения и собственного вектора линейного оператора, изучите их свойства и научитесь находить собственные значения и собственные векторы оператора по его матрице. Понятия собственных значений и собственных векторов линейного оператора и методы их нахождения широко испльзуются в других разделах высшей математики и в специальных дисциплинах. При решении …

Пусть ^ A : Xn → Xn — некоторый оператор (не обязательно линейный), D М Xn — область определения и E М Xn — область значений этого оператора. Оператор ^ A :Xn → Xn называется взаимно однозначным, если из равенства образов следует равенство прообразов:   «x1, x2 О D   ^ A x1 = ^ A x2  ЬЮ …

Пусть линейный оператор ^ A : Xn → Xn осуществляет взаимно однозначное отображение. Следовательно, существует обратный оператор ^ A − 1 . Пусть A — матрица оператора ^ A в некотором базисе. Очевидно, что A — квадратная матрица порядка n и det  A ≠ 0 , так как Rg ^ A = n . Следовательно, матрица …

Пусть ^ A :Xn → Xn — линейный оператор. Зададим в Xn два базиса: «старый» базис e = (e1, e2,  … , en) и «новый» базис f = (f1, f2,  … , fn) . Матрицей перехода от базиса e к базису f называется матрица C = (cik)    (i,k = 1, … ,n) , столбцами которой являются координатные столбцы …