AcademiaXXI

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятиями взаимно однозначного отображения, обратного оператора и условиями его существования, научитесь находить обратный оператор и его матрицу, узнаете, что такое матрица перехода к другому базису и как преобразуются координаты векторов и матрица оператора при преобразовании базиса. При решении задач модуль STEM Plus пакета AcademiaXXI поможет выполнить действия с …

Пусть линейный оператор ^ A : Xn → Xn в базисе e имеет матрицу Ae . Найдем матрицу этого оператора Af в базисе f . Пусть C — матрица перехода от базиса e к базису f . Теорема. Преобразование матрицы оператора ^ A при переходе от «старого» базиса e к «новому» базису f определяется формулой:   …

Говорят, что в линейном пространстве X определена операция скалярного умножения векторов, если любой упорядоченной паре векторов x, y О X ставится в соответствие действительное число, называемое их скалярным произведением и обозначаемое символом (x,y) . Причем « x, y, z О X и «α О R выполняются следующие аксиомы: (y, x) = (x, y) ; (x + y, z) = (x, z) + (y, z) …

ОГЛАВЛЕНИЕ УКАЗАТЕЛЬ ТЕМА ТЕОРИЯ ПРИМЕРЫ ВОПРОСЫ ЗАДАЧИ ЗАМЕТКИ

Пусть e1, e2,  … , en — ортогональный базис в n –мерном евклидовом пространстве En и x — произвольный вектор в En . Тогда x = α1 e1 + α2 e2 + … + αn en, где α1, α2,  … , αn — координаты вектора x в базисе e1, e2,  … , en . Умножив это равенство скалярно на ei ( i = 1,2, …

ОГЛАВЛЕНИЕ УКАЗАТЕЛЬ ТЕМА ТЕОРИЯ ПРИМЕРЫ ВОПРОСЫ ЗАДАЧИ ЗАМЕТКИ

Базис e1, e2,  … , en в n –мерном евклидовом пространстве En называется ортогональным, если (ei, ej) = 0    «i ≠ j , т.е. все векторы попарно ортогональны. Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным. Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство (метод ортогонализации Грама–Шмидта). Пусть f1, f2,  … , fn — произвольный базис в En . …

ОГЛАВЛЕНИЕ УКАЗАТЕЛЬ ТЕМА ТЕОРИЯ ПРИМЕРЫ ВОПРОСЫ ЗАДАЧИ ЗАМЕТКИ

Пусть ^ A :Xn → Xn — линейный оператор. Зададим в Xn два базиса: «старый» базис e = (e1, e2,  … , en) и «новый» базис f = (f1, f2,  … , fn) . Матрицей перехода от базиса e к базису f называется матрица C = (cik)    (i,k = 1, … ,n) , столбцами которой являются координатные столбцы …

Пусть линейный оператор ^ A : Xn → Xn осуществляет взаимно однозначное отображение. Следовательно, существует обратный оператор ^ A − 1 . Пусть A — матрица оператора ^ A в некотором базисе. Очевидно, что A — квадратная матрица порядка n и det  A ≠ 0 , так как Rg ^ A = n . Следовательно, матрица …